MATLAB fornece uma variedade de métodos para resolver o cálculo diferencial e integral, resolução de equações diferenciais, e limitar a extensão de qualquer cálculo. Complexo pode facilmente extrair funções gráficas e um valor máximo, resolvendo as funções originais e para verificar o padrão derivado, mínimo e outro ponto fixo.

Este capítulo introduz o problema de cálculo. Neste capítulo, o algoritmo pré-tratado, isto é, o cálculo e a função de verificação de restrição limitando propriedades.

Na próxima derivado capítulo, os termos derivados da expressão, e para encontrar um local máxima e mínimos da FIG. Também vamos discutir a resolução de equações diferenciais.

Finalmente, no capítulo "integrado / integração", vamos discutir o cálculo integral.

limite calculado

MATLAB fornece uma função para calcular o limite limite. Na sua forma mais básica, a expressão limite como uma função dos parâmetros, e para encontrar os limites da expressão na variável independente é zero.

Por exemplo, para calcular a (x 3 ^ + 5) / (x ^ 4 + 7) limite da função f (x) =, quando x se aproxima de zero.

syms xlimit ((x 3 ^ + 5) / (x ^ 4 + 7)) MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

julgamento > >  syms x limite ((x 3 ^ + 5) / (x ^ 4 + 7)) ans = 5/7 concha

função de limite cai domínio computação simbólica, função syms requer o uso de variáveis simbólicas para dizer MATLAB está usando. Você também pode calcular a função de limite porque as variáveis tendem a ser um número diferente de zero. Para calcular -

comando limite pode ser usado com parâmetros. O primeiro é a expressão e o segundo número é o - x representa um próximo, aqui é uma.

Por exemplo, para calcular a função f (x) = (x-3) / (x-1) limite, tende para 1 quando x.

limite ((x - 3) / (X-1), 1) MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

ans = NaN concha

Olhar para outro exemplo abaixo,

limite (X ^ 2 + 5, 3) concha

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

ans = 14 concha

O limite é calculado usando a oitava

O que se segue é um exemplo da oitava versão simbólico descrito acima da embalagem utilizada, e tenta efectuar um resultado de comparação -

carga pkg simbólica símbolos x = sym ( "x"); subs ((x 3 ^ + 5) / (x ^ 4 + 7), X, 0) MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

ans = ,7142857142857142857 concha

Verifique limite de propriedades básicas

Álgebra Teorema do Limite fornece algum limite propriedades básicas. Estes atributos são os seguintes -

Vamos considerar duas funções -

f (x) = (3x + 5) / (x - 3) g (x) = x ^ 2 + 1.

Os seguintes cálculos de funções limite, x estas duas funções tende a 5, e o uso de estas duas funções e propriedades básicas MATLAB de verificação de limites.

exemplo

Criar um arquivo de script e digite o código a seguir em que -

syms x f = (3 * x + 5) / (x-3); g = x ^ 2 + 1; L1 = limite (f, 4) L2 = limite (g, 4) Ladd = limite (f + g, 4) LSUB = limite de (f - g, 4) lMult = limite (f * g, 4) lDiv = limite (f / g, 4) MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

L1 = 17 L2 = 17 Ladd = 34 LSUB = 0 lMult = 289 lDiv = 1 concha

limitar o uso Octave para verificar propriedades básicas

O que se segue é um exemplo da oitava versão simbólico descrito acima da embalagem utilizada, e tenta efectuar um resultado de comparação -

carga pkg simbólica símbolos x = sym ( "x"); f = (3 * x + 5) / (x-3); g = x ^ 2 + 1; L1 = subs (F, X, 4) L2 = subs (G, X , 4) Ladd = subs (f + g, x, 4) LSUB = subs (fg, x, 4) lMult = subs (f * g, x, 4) lDiv = subs (f / g, X, 4) MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

L1 = 17,0 L2 = 17,0 Ladd = 34,0 LSUB = 0.0 lMult = 289,0 lDiv = 1.0 concha

limite de esquerda e direita limites

Quando a função tem descontinuidades para um determinado valor da variável, o ponto limite não existe. Em outras palavras, quando x = a, a função f (x) tem um limite de descontinuidade, o valor de x quando x aproxima da esquerda, o valor de x não é igual a x a partir do lado direito perto do limite.

para x < Um valor do limite esquerdo é definido como x - >  um limite, isto é, a partir da esquerda x se aproxima de um. para x >  O valor de um, o limite direito é definido como x - >  um limite do direito, ou seja, x se aproxima de um. Quando o limite esquerdo e limite direito não são iguais, o limite não existe.

Vamos olhar uma função -

f (x) = (x - 3) / | x - 3 |

A seguir irá ser exibido

Ela não existe. MATLAB nos ajuda de duas maneiras os fatos -

• FIG função através da representação gráfica e exibição descontinuidades.
• Ao calcular o limite e mostrar tanto diferente.

Pela cadeia de caracteres "esquerda" e "direita" como o último passe para parâmetros de comando limite para calcular o limite de esquerda e direita.

exemplo

Criar um arquivo de script e digite o código a seguir em que -

f = (x - 3) / ABS (X-3); ezplot (f, ) l = limite (F, X, 3, 'deixou') r = limite (F, X, 3, 'direito') MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

Após a saída é exibida -

julgamento > > julgamento > >  f = (x - 3) / ABS (X-3); ezplot (f, ) l = limite (F, X, 3, 'deixou') r = limite (F, X, 3, 'direito') l = -1 r = 1 concha

MATLAB fornece símbolos de comando diff utilizados para calcular derivados. Na sua forma mais simples, a função diferencial será passado para o comando diff como um argumento.

Por exemplo, a equação função de cálculo derivado -

exemplo

Criar um arquivo de script e digite o código a seguir em que -

syms t f = 3 * t ^ 2 + 2 * t ^ (- 2); diff (f) MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

julgamento > >  syms t f = 3 * t ^ 2 + 2 * t ^ (- 2); diff (f) ans = 6 * t - 4 / t ^ 3 concha

Octave é calculada usando a seguinte redação -

carga pkg simbólica símbolos t = sym ( "t"); f = 3 * t ^ 2 + 2 * t ^ (- 2); diferenciada (F, T) MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

ans = 6 * t - 4 / t ^ 3 concha

Verifique regras básicas de diferenciação

Breve descrição várias regras equações ou regras diferenciadas, e regras de validação. Para este fim, vamos escrever uma primeira ordem derivada f '(x) ea segunda derivada f "(x).

A seguir estão as regras do diferencial -

regras --1

Para todas as funções F e G, e qualquer número real b é um derivado da função:

h (x) = af (x) + BG (x) em relação a x, o h '(X) = af' (x) + BG (x) é dada'.

Regras - 2

soma E regra de subtração expressa como: Se f e g são duas funções, então f 'e g' são seus derivados, como se segue -

(F + G) '= f' + g ' (F - G) '= f' - g '

Regra --3

Regra produto expressa como: Se f e g são duas funções, então f 'e g' são seus derivados, como se segue -

(F.g) '= f'.g + g'.f

Regra --4

regra quociente indica que, se as funções f e g é dois, então f 'e g' são como os seus derivados, em seguida, -

regras --5

As regras básicas de um polinómio ou poder expressa como: Se y = f (x) = x ^ N, em seguida -

Uma consequência directa desta norma é o derivado de qualquer constante é igual a zero, isto é, se y = k, em seguida, qualquer constante -

f '= 0

regras --5

cadeia expressa como uma regra - a função de fase de x h (x) = f para a derivada da função (G (x)) é -

h '(X) = f' (G (x)). G '(x) MATLAB

exemplo

Criar um arquivo de script e digite o código a seguir em que -

syms x syms t f = (x + 2) * (x ^ 2 + 3) der1 = diff (f), f = (t ^ 2 + 3) * (sqrt (t) + t ^ 3) der2 = diff (f), f = ( x ^ 2 - 2 * x + 1) * (3 * x ^ 3-5 * x ^ 2 + 2) der3 = diff (f), f = (2 * x ^ 2 + 3 * x) / (x ^ 3 + 1) = der4 diff (f), f = (x ^ 2 + 1) ^ = 17der5 diff (f), f = (t ^ 3 + 3 * t ^ 2 + 5 * t -9) ^ (- 6) der6 = diff (f) MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

f = (X ^ 2 + 3) * (x + 2) der1 = 2 * x * (x + 2) + x ^ 2 + 3 f = (T ^ (1/2) + t ^ 3) * (t ^ 2 + 3) der2 = (T ^ 2 + 3) * (3 * t ^ 2 + 1 / (2 * t ^ (1/2))) + 2 * t * (^ t (1/2) + t ^ 3) f = (X ^ 2 - 2 * x + 1) * (3 * x ^ 3-5 * x ^ 2 + 2) der3 = (2 * x - 2) * (3 * x ^ 3-5 * x ^ 2 + 2) - (- 9 * x ^ 2 + 10 * x) * (x ^ 2 - 2 * x + 1) f = (2 * x ^ 2 + 3 * x) / (x ^ 3 + 1) der4 = (4 * x + 3) / (x + 1 ^ 3) - (3 * x ^ 2 * (2 * x ^ 2 + 3 * x)) / (x ^ 3 + 1) ^ 2 f = (X ^ 2 + 1) ^ 17 der5 = 34 * x * (X ^ 2 + 1) ^ 16 f = 1 / (t ^ 3 + 3 * t ^ 2 + 5 * t - 9) ^ 6 der6 = - (6 * (3 * t ^ 2 + 6 * t + 5)) / (t ^ 3 + 3 * t ^ 2 + 5 * t - 9) 7 ^ concha

O seguinte é um exemplo do Octave texto acima -

carga pkg simbólica símbolos x = sym ( "x"); t = sym ( "t"); f = (x + 2) * (x ^ 2 + 3) der1 = diferenciada (f, x) f = (t ^ 2 + 3) * (t ^ (1/2) + t ^ 3) = der2 diferenciada (F, T) = f (x ^ 2 - 2 * x + 1) * (3 * x ^ 3-5 * x ^ 2 + 2 ) der3 = diferenciada (f, x) f = (2 * x ^ 2 + 3 * x) / (x ^ 3 + 1) der4 = diferenciada (f, x) f = (x ^ 2 + 1) ^ 17 der5 = diferenciada (f, x) = f (t ^ 3 + 3 * t ^ 2 + 5 * t -9) ^ (- 6) der6 = diferenciada (F, T) MATLAB

Exponencial, logarmica e funções trigonométricas derivados de

A tabela a seguir fornece um índice comum, o derivado das funções logarítmicas e trigonométricas,

exemplo

Criar um arquivo de script e digite o código a seguir em que -

syms x y = exp (x) diff (y) y = x ^ 9diff (y) Y = sen (x) diff (y) Y = dif tan (x) (y) y = cos (x) diff (y) Y = log (x) diff (y) Y = log10 (x) diff (y) Y = sen (x) ^ 2diff (Y) y = cos (3 * x ^ 2 + 2 * x + 1) diff (y) y = exp (x) / sen (x) diff (y) MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

y = exp (X) ans = exp (X) y = x ^ 9 ans = 9 * x ^ 8 y = sin (x) ans = cos (x) y = tan (x) ans = tan (x) ^ 2 + 1 y = cos (x) ans = -sin (x) y = log (x) ans = 1 / x y = log (x) / log (10) ans = 1 / (x * log (10)) y = sen (x) ^ 2 ans = 2 * cos (x) sin * (x) y = cos (3 * x ^ 2 + 2 * x + 1) ans = -sin (3 * x ^ 2 + 2 * x + 1) * (* 6 X + 2) y = exp (x) / sin (x) ans = exp (x) / sin (x) - (exp (x) cos * (x)) / sin (x) ^ 2 concha

O código a seguir é escrito acima do Octave código -

carga pkg simbólica símbolos x = sym ( "X"); y = exp (x) diferenciada (y, x) y = x ^ 9 diferenciada (y, x) y = sen (x) diferenciada (y, x) y = Tan (x) diferenciada (y, x) y = cos (x) diferenciada (y, x) y = log (x) diferenciada (y, x) não% packages simbólicos não tem esse apoio % Y = log10 (x) Diferenciar% (y, x) y = sen (x) ^ 2 diferenciada (y, x) y = Cos (3 * x ^ 2 + 2 * x + 1) diferenciada (y, x) y = exp (x) / sen (x) diferenciada (y, x) concha

Cálculo de derivados de ordem mais elevada

Para calcular o número de maior condutividade função F podem ser usados diff (F, N).

A segunda função fórmula de cálculo derivado -

f = x * exp (-3 * x); diff (f, 2) MATLAB

implementação MATLAB do código acima retorna o seguinte resultado -

ans = 9 * x * exp (-3 * x) - 6 * exp (-3 * x) concha

Aqui está Octave reescrever o exemplo acima, como segue -

carga pkg simbólica símbolos x = sym ( "x"); f = x * Exp (-3 * x); diferenciada (F, X, 2) MATLAB

exemplo

Neste exemplo, queremos resolver um problema. Por uma dada função y = f (x) = 3sin (x) + 7cos (5x), para encontrar a equação f "+ f = -5cos (2x) se mantém.

Criar um arquivo de script e digite o código a seguir em que -

syms x y = 3 * sen (x) + 7 * cos (5 * x);% definindo as functionlhs = diff (y, 2) + y;% evaluting LHS dos equationrhs = -5 * cos (2 * x); % DIR da equationif (ISEQUAL (LHS, rhs)) disp ( 'Sim, a equação é verdadeira'); else disp ( 'Não, a equação não é verdadeiro'); enddisp ( 'Valor da LHS é:'), DISP (LHS); MATLAB

Quando você executar o arquivo, ele irá mostrar os seguintes resultados -

Não, a equação não é verdadeiro Valor da LHS é: -168 * cos (5 * x) concha

Oitava escrito acima é um exemplo do acima -

carga pkg simbólica símbolos x = sym ( "x"); y = 3 * sen (x) + 7 * cos (5 * x);% definindo as functionlhs = Diferenciar (Y, X, 2) + y;% evaluting LHS dos equationrhs = -5 * cos (2 * x);% DIR da equationif (lhs == rhs) disp ( 'Sim, a equação é verdadeira'); else disp ( 'Não, a equação não é verdadeiro'); enddisp ( 'Valor da LHS é:'), DISP (LHS); MATLAB

Encontre a curva máxima e mínima

Se o padrão de pesquisa é o local de máxima e mínima, ou substancialmente o ponto mais alto é encontrar o ponto mais baixo ou dentro de um determinado intervalo de valores dos símbolos variáveis em função de um lugar específico.

Para uma função y = f (x), tendo um padrão de pontos chamado um ponto fixo de inclinação zero no gráfico. Em outras palavras, o ponto fixo é f (x) = 0.

Para encontrar uma função diferencial ponto fixo, você precisa definir a derivada a zero e resolvendo equações.

Exemplos

Para encontrar a função f (x) = 2x3 + 3x2 - 12x + 17 a um ponto fixo

Consulte os seguintes passos -

função de entrada em primeiro lugar e esboço, da seguinte forma -

syms x y = 2 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2-12 * x + 17;% definindo o functionezplot (y) MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

Oitava escrito acima é um exemplo do acima -

carga pkg simbólica símbolos x = sym ( 'x'); y = in-line ( "2 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2-12 * + x 17"); ezplot (y) de impressão -deps graph.eps MATLAB

Nosso objetivo é encontrar máximos locais e mínimos na figura, presume-se para encontrar máximos locais e mínimos na FIG intervalo de. Referência ao seguinte exemplo de código -

syms x y = 2 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2-12 * x + 17;% definindo o functionezplot (y, ) MATLAB

Executar o código de exemplo acima, os seguintes resultados -

O seguinte é um exemplo do Octave texto acima -

carga pkg simbólica símbolos x = sym ( 'x'); y = in-line ( "2 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2-12 * + x 17"); ezplot (y, ) impressão -deps gráfico. eps MATLAB

Em seguida, é necessário derivados calcular.

g = diff (y) MATLAB

execução de código MATLAB e retorna os seguintes resultados -

g = 6 * x ^ 2 + 6 * x - 12 concha

O seguinte é um exemplo do Octave texto acima -

carga pkg simbólica símbolos x = sym ( "x"); y = 2 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2-12 * x + 17; g = diferenciada (y, x) MATLAB

Em seguida, para resolver a derivada da função g, e torna-se um valor de zero.

s = resolver (g) MATLAB

execução de código MATLAB e retorna os seguintes resultados -

s = 1 -2 concha

O seguinte é um exemplo do Octave texto acima -

carga pkg simbólica símbolos x = sym ( "x"); y = 2 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2-12 * x + 17; g = diferenciada (y, x) raízes () MATLAB

Isto é consistente com o nosso enredo visão. Assim, para avaliar o ponto crítico x = 1, a função f -2. Valor do símbolo pode ser substituída usando os subs comando função.

Subs (y, 1), subs (y, -2) MATLAB

execução de código MATLAB e retorna os seguintes resultados -

ans = 10 ans = 37 concha

O seguinte é um exemplo do Octave texto acima -

carga pkg simbólica símbolos x = sym ( "x"); y = 2 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2-12 * X + 17; g = diferenciada (y, x) raizes () subs ( Y, X, 1), subs (Y, X, -2) MATLAB

Assim, no intervalo de na função f (x) = 2x ^ 3 + 3x ^ 2 - 12x + 17 valores mínimos e máximos 10 e 37, respectivamente.

Resolver equações diferenciais

MATLAB fornece comando dsolve para resolver equações diferenciais.

Encontrar uma solução para uma única equação é a forma mais básica do dsolve comando -

dsolve ( 'eqn') MATLAB

Em que a cadeia de texto é para introduzir equações eqn.

Devolve uma solução simbólica, que contém um conjunto de constantes arbitrárias, MATLAB identificadas como C1, C2 e semelhantes.

Os problemas podem também especificar as condições iniciais e de contorno, uma lista separada por vírgulas do seguinte fórmula:

dsolve ( 'eqn', 'cond1', 'cond2', ...)

Para usar dsolve derivado de comando representado por D. Por exemplo, como f '(t) = -2 * f + custo (t), tais como entrada equação -

'Df = -2 * f + cos (t)'

Superior derivado ordem representada pelo número de sequência derivado de D.

Por exemplo, a equação f "(x) + 2f '(x) = 5sin3x ser inserido como -

'D2y + 2DY = 5 * sen (3 x *)'

Vamos olhar um exemplo de uma equação diferencial simples de primeira ordem: y '= 5a.

s = dsolve ( 'Dy = 5 y *')

execução de código MATLAB e retorna os seguintes resultados -

s = C2 * exp (5 * t) concha

Exemplos novamente uma segunda equação diferencial ordem: y "-y = 0, y (0) = -1, y '(0) = 2.

dsolve ( 'd2y - y = 0', 'y (0) = -1', 'Dy (0) = 2') MATLAB

execução de código MATLAB e retorna os seguintes resultados -

ans = exp (t) / 2 - (3 * exp (-t)) / 2 concha